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从毕氏定理到余弦定律(From Pythagorean Th

2020-06-17

在高中课程三角函数的单元中,余弦定律是个重要的主题。

所谓余弦定律是给定任意的三角形 $$ABC$$,以 $$a,b,c$$ 表示 $$\angle{A},\angle{B},\angle{C}$$ 所对应的边长,则

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos{C}$$

当 $$\angle{C}=90^\circ$$时,$$\cos{C}=0$$,因此,

$$c^2=a^2+b^2$$。

教科书的编者就以此下了个结论:「余弦定律是毕氏定理的推广,而毕氏定理是余弦定律的特例。」当然,就代数形式来说,这个结论没有问题。只不过,老师很难让学生对于这个结论「有感觉」,从而对余弦定律有更深刻的体认。

2006年思源科技教育基金会主辨高中教案徵选活动,笔者曾提出有关余弦定律的教案设计。那个教案的设计是针对余弦定律教学活动,从引起动机开始,经由特殊化到一般化,观察猜测出余弦定律,到最后证明余弦定律的完整流程。

特别地,笔者为了强调余弦定律 $$c^2=b^2+b^2-2ab\cos{C}$$ 乃至修正项 $$2ab\cos{C}$$ 的几何意义,刻意由毕氏定理的欧几里得证法出发,进而证明余弦定律。有兴趣的读者,可以到网址www.seed.org.tw下载这份教案投影片。

不过,现行国中课程的几何证明份量减少,对于毕氏定理的欧式证明也略去不提。因此,对于这个证明进路能否运用在一般学生的教学上,总让老师们有些担心。本文的目的,就是想要再尝试看看,让这个从毕氏定理到余弦定律的证明进路,能更符合老师们的需求。

从毕氏定理到余弦定律(From Pythagorean Th

首先,不妨从图一到图四看起,这是一个关于毕氏定理的证明。在介绍毕氏定理的各式证明中,它应该是常见的,而且网路上很容易找到能动态呈现的版本。简单地说,藉由等积变换,我们可以看到正方形 $$ACDE$$ 会与长方形 $$AGJK$$ 面积相等。同理,我们也可知正方形 $$BCHI$$ 会与长方形 $$BFJK$$ 面积相等。因此,我们就证明了毕氏定理 $$c^2=a^2+b^2$$。

事实上,欧几里得在《几何原本》卷一命题 $$47$$ 所给出的证明,大致上和上述的这个证明相同。只是,它所利用图形比较迂迴罢了。参考图五,正方形  $$ACDE$$ 的面积等于三角形 $$ABE$$ 的两倍,长方形 $$AGJK$$ 面积等于三角形 $$AGC$$ 的两倍。而三角形 $$ABE$$ 和三角形 $$AGC$$ 全等($$SAS$$ 全等,若没有全等的概念,也可以透过以 $$A$$ 为支点的点的旋转观察而得),所以,正方形 $$ACDE$$ 会与长方形 $$AGJK$$ 面积相等。同理,正方形 $$BCHI$$ 会与长方形 $$BFJK$$ 面积相等。因此,透过图一到图四的说明,再引导至图五,相信学生应该可以观察得到毕氏定理 $$c^2=a^2+b^2$$。

从毕氏定理到余弦定律(From Pythagorean Th

对图五的直角三角形有「感觉」后,再来,就能进一步询问:那幺锐角三角形(或钝角三角形)的三边长具有什幺关係呢?

以下,用 $$\angle{C}$$ 为锐角的三角形为例说明。首先,将三角形的三边往外分别做出正方形,仿照图五的方式,做出三角形的三高,三高会交于一点(垂心)。此时图形分割情形如图六。接着,同图五的情形,不难看到长方形 $$APQE$$ 的面积会等于长方形 $$AKJG$$ 的面积(透过三角形 $$ACG$$ 与三角形 $$AEB$$ 全等)。同理,长方形 $$BISR$$ 的面积会等于长方形 $$BKJF$$ 的面积,长方形 $$CDQP$$ 的面积会等于长方形 $$CHSR$$ 的面积。如此一来,我们就得知正方形 $$ABFG$$ 的面积会小于正方形 $$BIHC$$ 的面积与正方形 $$ACDE$$ 的面积之和。也就是说,$$c^2

从毕氏定理到余弦定律(From Pythagorean Th

然而,等式关係是什幺呢?从图六也容易得知:

正方形 $$ABFG$$ 的面积
$$=$$ 正方形 $$BIHC$$ 的面积 $$+$$ 正方形 $$ACDE$$ 的面积 $$-$$ 长方形 $$CDQP$$ 的面积 $$-$$ 长方形 $$CHSR$$ 的面积

又长方形 $$CDQP$$ 的面积 $$=$$ 长方形 $$CHSR$$ 的面积,因此

正方形 $$ABFG$$ 的面积
$$=$$ 正方形 $$BIHC$$ 的面积 $$+$$ 正方形 $$ACDE$$ 的面积 $$-2\times$$ 长方形 $$CDQP$$ 的面积

而长方形 $$CDQP$$ 的面积 $$=\overline{CD}\times\overline{CP}=\overline{CD}\times\overline{CB}\times\cos{C}=ab\cos{C}$$,

因此,$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos{C}$$

我们就能得到余弦定律。至于钝角的情形,不妨当成回家作业,让同学尝试看看。透过学生早已熟知毕氏定理的面积和关係,从欧几里得的证明出发,利用相同的证法方式,我们便能推广到非直角三角形的情形。所以,对于「余弦定律是毕氏定理的推广,而毕氏定理是余弦定律的特例。」是否开始有不同的感觉了?


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