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如何阅读祖沖之?(How to Read Zu Chongz

2020-07-02

对于很多人来说,祖沖之并不是陌生的中国历史人物,譬如说吧,在一些中国古代科学家的传记书写中,都一定可以找到他的故事,完全不需要我们在此狗尾续貂。

不过,叙说他的生平事蹟,并着重与他的数学成就比较相关的部份,乃至于他如何看待他自己的贡献,从传记书写与阅读的观点来看,似乎还是值得一说再说。在此,我们打算「重建」有关他的历史故事。其中,还要特别说明有关圆周率近似值「祖率」$$\frac{355}{113}$$(日本数学史家三上义夫所命名)之价值与意义。

祖沖之 (429-500) 在中国南北朝时代的南朝刘宋朝为官,有关他的传记相当完整,可以说明他的确作过不小的官。一般来说,平民百姓很难进入官史档案。因此,一旦在中国历史中找不到有关某人的文献,我们就几乎可以断定他没有作过甚幺大官。譬如说吧,中国三国时代数学双雄 - 曹魏刘徽与孙吴赵爽,就都可能是名不见经传的小人物,因此,当然没有传记流传下来。

祖沖之当然不同!他是范阳逎县(今河北涞水县)人,曾祖祖台之曾任晋朝侍中,祖父祖昌开始在南朝为官,任刘宋大匠卿,父亲祖朔之奉朝请。他自己则在刘宋大明六年 (462年) 担任南徐州(现在镇江)从事史。按此官职大约相当于地方上行政组织的科长或科员,阶级最高为七品。

看起来,此时他官位不高,然而,他製作《大明曆》,并推求圆周率的精密近似值:$$3.1415926<\pi<3.1415927$$,却都是此时的工作。《隋书‧律曆志》特别指出他当时官衔为「南徐州从事史」,或有意纪录他的研究生涯之阶段。

后来,他又升迁为娄县(今江苏崑山)令、谒者僕射,前者是六品与七品不定,后者掌管朝廷礼仪,是五品官。他奉命製造指南车、木牛流马、千里船与其他奇器,大概都是此时的工作。事实上,按之史籍,南北朝时代可以说是中国奇器製造最风行的时代,至于此时中国人似乎不顾「奇技淫巧」之道德规劝,放纵巧思而製造奇器,或许可以归之于帝王宫廷的时尚爱好,但是,整体文化的风潮走向重视个体自觉表现,恐怕也是不容忽视的因素之一。

祖沖之的「多才多艺」,也表现在他「当时独绝」的「钟律博塞」。所谓钟律,当然是指五音十二律的研究,由于音程与律管长度有关,所以,黄钟律管长度的订定,就变得十分重要。相传祖沖之曾铸有铜尺传世,应该与此有关。另外,所谓「博」与「塞」是指古代两种游戏,今已失传。不过,史载称玩家需要懂一点数学,祖沖之也因善解这些游戏之奥妙,而驰名于当时。

祖沖之的最后官职是萧齐朝的长水校尉,是五营教尉之一,比谒者僕射还高一品。终其一生,他的大明曆始终没有机会使用,直到他儿子祖在南齐任官时,才获得颁布使用,这是南齐天监八年(509年),距离祖沖之谢世已有五年,而距离他制定那一年(大明六年,公元462年),则更是长达47个年头了。

公元462年,他已经担任南徐州从事史了。史家认为在这之前,他应该已经完成有关《九章算术》注解与圆周率的研究工作,当时他才30岁出头而已。在那一年之后,他似乎非常努力为官,希望在宦途上有一点作为。这或许可以解释他何以锲而不捨地进献《大明曆》,以获得帝王的青睐。在这个脉络中,他与权臣戴法兴辩论所写的〈大明曆议〉,也见证了公元第五世纪中国历史上的科学争议。

另一方面,祖沖之父子研究《九章算术》球体积公式时,完全是根据刘徽注解中的提示,成功地计算了「牟合方盖形」的体积,才得以想出并证明球的体积公式。然则他何以批评刘徽的研究工作呢?我们实在无从理解,除非刘徽在曆法方面有一些研究成果,入不了祖沖之法眼。值得注意的,此一对刘徽乃至于当时天算家的评论,显然为《隋书‧律曆志》的编者所引用。

从现在的「后见之明」来看,如果追溯「祖率」这个圆周率近似值怎幺来的,我们有必要回到刘徽注解《九章算术》。此一注文,可以说是公元第三世纪世界数学史上的最重要文本之一。刘徽先证明圆面积等于「半周半径相乘」,再从一个直径为二尺的圆开始割圆,由内接正 $$6$$ 边形开始,迭代地求得圆内接正 $$96$$ 边形之面积,最后得知圆面积近似于 $$314$$(平方)寸。

或许祖沖之的《缀术》也记载有类似的研究成果吧!可惜,本书的失传,让我们无法掌握直接证据以评定他的贡献。然则「祖率」究竟是怎幺来呢?数学史家认为祖沖之可能利用了连分数的「渐近分数法」。根据此一方法,祖沖之将 $$\frac{3927}{1250}$$、$$3.1415926$$ 与 $$3.1415927$$ 表徵为连分数展开式,再分别求各自的渐近分数如下:

$$(1)~~~\displaystyle\frac{3927}{1250}=3+\frac{1}{7+\frac{1}{16+\frac{1}{11}}}$$,其渐近分数为:$$\frac{3}{1}$$,$$\frac{22}{7}$$,$$\frac{355}{113}$$,$$\frac{3927}{1250}$$

$$(2)~~~\displaystyle3.1415926=3+\frac{1}{7+\frac{1}{15+\frac{1}{1+\frac{362}{88156}}}}$$,其渐近分数为:$$\frac{3}{1}$$,$$\frac{22}{7}$$,$$\frac{333}{106}$$,$$\frac{355}{113}$$,$$\frac{86598}{27565}$$…

$$(3)~~~$$模仿上述 $$(2)$$,$$3.1415927$$ 之渐近分数如下:$$\frac{3}{1}$$,$$\frac{22}{7}$$,$$\frac{333}{105}$$,$$\frac{355}{113}$$,$$\frac{126003}{40108}$$…

因此,祖沖之「从中挑选 $$\frac{22}{7}$$ 为『约率』,$$\frac{355}{113}$$ 为『宻率』,是十分自然的。」为了强化此一推测的合理性,史家特别指出中国古代曆家常用它以推求各种天体会合周期。譬如刘歆制定《三统曆》时,就利用了此一方法。

其实,第五世纪的印度数学家与天文学家阿耶波多,也利用了渐近分数来解二元一次方程 (其中 $$a,b,c$$ 都是整数)的整数解。不管当时中印数学有没有交流,连分数展开与渐近分数的概念,似乎是第五世纪数学家都已经掌握到的重要数学方法。

附带一提,我们今天都运用「欧拉法」来解这种不定方程,但是,此一方法实质上却是渐近分数的概念,至于如何将一个实数展开成为(或表徵为)连分数,则本质是一种辗转相除法。最后这个方法,在《九章算术》乃至更早的《筭数书》(公元前186年)都已现身,可见古代中国人提出「渐近分数法」的历史条件,到了汉代之后应该已经成熟了。

由于祖沖之的《缀术》到了宋代已经失传,所以,他如何求得「祖率」,才会成为数学史上的千古悬案。本书在唐初曾由李淳风等注释、辑入所谓的《算经十书》,作为国子监太学明算科(类似现代的国立大学数学系)的教科书,其他九部有《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《张丘建算经》、《五曹算经》、《五经算术》、《夏侯阳算经》与《缉古算经》。现传的《算经十书》,则是宋代刊刻时,以《数术记遗》补上前九部而成。至于失传的原因之一,据说是内容过于艰深所致,它在明算科中必须修习的时间最多 ─ 高达四年,让很多师生望而却步。

儘管如此,我们从《九章算术》刘徽注以及《隋书‧律曆志》的文本,应该足以「重建」祖沖之推求圆周率的过程,尤其是针对他如何找到「祖率」。这些「理性重建」(rational reconstruction)的工作,当然可以帮助「现在的」我们阅读祖沖之!问题是:我们的最佳切入点是什幺?

一般来说,杰出人物的传记如果故事说得动人,对于读者应该具有人格的薰陶作用,尤其是如果涉及传主的科学知识活动如何受到「不当」的压制,则更有科学普及所标榜的「启蒙」(enlightenment)价值。这是叙事的部份,任何一种科学家传记书写都不会错过。

然而,以祖沖之为例,他与权臣戴法兴有关「大明曆」的科学争议,恐怕仍有待新的史学观点与研究,才能完全釐清。平心而论,对于祖沖之自己来说,「大明曆」的重要性远远大于圆周率的推求。这是因为前者绝对是国家大事,至于算学研究呢,请不要忘记(南齐)颜之推的见证,他在《颜氏家训》中告诫颜家子孙:「算术亦是六艺要事,自古儒士论天道、定律曆者皆学通之。然可以兼明,不可以专业。」

不过,这个社会文化脉络,倒是反过来更「证成」(justify) 了祖沖之算学研究的难能可贵。儘管「祖率」可能并不是祖沖之一生中最想珍视的成就,但是,他毕竟因而在数学史上不朽!所以,如果我们希望通过历史的书写与阅读,向祖沖之这位大师「学习」,那幺,他如何推求「祖率」的过程,绝对是最值得还原的题材之一。这也是数学家传记书写不可缺少的「认知」面向。只要对这一点无暇顾及,那幺,所谓的「祖沖之传」与其他一般历史人物的传记就很难区隔,连带地,也就难以呈现相关的数学知识活动之趣味与特色了。

是的!我们非常希望下次再读到「祖沖之」时,可以发现书写者在适当的「脉络」中讨论「祖率」的认知意义,而不只是以「消费文化符码」的方式,「徒然地」说它準确到小数点后第六位:$$3.1415926$$ 等等、等等 ……。

参考文献:


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