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LC电路(LC circuit)

2020-06-07

LC电路(LC circuit)

图1 最简单的LC电路

LC电路顾名思义是由电感(inductor)和电容(capacitor)所组成的电路。首先,先介绍最简单的电路,仅由一个电感和电容所组成,如图 1。令电容所储存的电荷量为 $$Q$$、电流为 $$I$$,在整个电路作用的期间可将电容视为一个电源供应器供应电感的电压,依此列式得

$$\displaystyle V=\frac{Q}{C}=L\frac{dI}{dt}$$

又因为电荷量随时间的变化量会产生电流,带入上式后得

$$\displaystyle\frac{d^2Q}{dt^2}=-\frac{Q}{LC}$$

至于负号是怎幺出现的呢?可以想想看如果电容放电,则 $$\frac{dQ}{dt}$$ 为负,若取逆时针方向之电流为正,此时必须加上一个负号,即 $$\frac{dQ}{dt}=-I$$,微分后带入可得上面的式子;那如果取顺时针方向之电流为正,这时 $$\frac{dQ}{dt}=I$$ ,而电感因为电流的方向定义和之前相反而有相反的电位,故 $$V=\frac{Q}{C}=-L\frac{dI}{dt}$$ ,联立解得 $$\frac{d^2 Q}{dt^2}=-\frac{Q}{LC}$$ 与取顺时钟方向得到的式子相同。

上式是一个二阶微分方程,它的解是一个振荡的函数,

如同弹簧简谐运动 $$m\ddot{x}=-kx$$,其角频率 $$\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$$,週期 $$T_0=2\pi\sqrt{LC}$$。

LC电路(LC circuit)

图2 将交流电压源与LC电路串联

LC电路一个常见的应用是作为电流放大器。

考虑图 2,在LC电路上加了一个交流电源,

其输入电压 $$V_{in}=V_0e^{i\omega t}$$ 为一正弦波。

电路中的电流 $$I=\frac{V_{in}}{Z}$$,

其中总阻抗 $$Z=i\omega L+\frac{1}{i\omega C}$$,带入上式得

$$\displaystyle I=\frac{V_0e^{i\omega t}}{i\omega L+\frac{1}{i\omega C}}=\frac{\omega CV_0e^{i\omega t}i}{1-\omega^2LC}=\frac{\omega CV_0}{1-\omega^2LC}e^{i(\omega t+\frac{\pi}{2})}$$

由上式可知电流相角较电压提前或落后 $$90$$ 度(视 $$1-\omega^2LC$$ 的正负号而定),

而电流振幅 $$\displaystyle I_0=\frac{\omega CV_0}{1-\omega^2 LC}$$ 最大值发生在 $$\omega=\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$$,此时发生共振,电流振幅趋近于无限大。所以透过控制输入电压的频率就可以得到不同的电流输出振幅,达到电流放大的效果。

LC电路(LC circuit)

图3 将交流电流源与LC电路并联

接下来考虑图 3,为一并联之LC电路,可作为电压放大器。这次电源採用交流电流 $$I_{in}=I_0e^{i\omega t}$$,而LC并联电路的阻抗

$$\displaystyle Z=(i\omega C+\frac{1}{i\omega L})^{-1}=\frac{i\omega L}{1-\omega^2 LC}$$

利用上两式可解得电源两端之电压

$$\displaystyle V=IZ=\frac{i\omega L}{1-\omega^2LC}I_0e^{i\omega t}=\frac{\omega LI_0}{1-\omega^2LC}e^{i(\omega t+\frac{\pi}{2})}$$

故可知电压相角较电流提前或落后 $$90$$ 度(一样视 $$1-\omega^2LC$$ 的正负号而定),而电压振幅 $$V_0=\frac{\omega LI_0}{1-\omega^2LC}$$ 最大值发生在 $$\omega=\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$$,此时发生共振,电流振幅趋近于无限大,透过控制输入电流的频率就可以得到不同的电压输出振幅,达到电压放大的效果。

上述的第一个例子说明了LC电路具有一个自然频率,透过选择适当的L和C值便可将电路应用在如收音机的频率接收,保留下想要接收的频率範围,抑制其他频率的杂讯。第二个例子则说明了输入交流电压,可以利用共振的特性,在输入讯号频率接近自然频率时,将电流放大许多。(事实上电流并不会变得无限大,因为电路中还有导线的电阻、电源的内电阻、甚至是电感电容也会有内电阻,虽然其值很小但当电流很大时,它的分压 $$V=IR$$ 也会变得很大,因此不可忽略,故必须使用RLC电路的模型来处理,结果是电流很大但不会趋近于无限大。)

最后,在第三个例子中,是採用与先前两个相同的原理,但改用电流源,当输入频率很接近固有频率时,电压会被放得很大,因此可当作电压放大器,但是电压峰值一样不会变成无限大,原因跟上一个例子一样,都是因为电阻的存在。


参考文献


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